Ganzrationale Funktionen | Polynomial Trainer

Funktionen

Zufällige Polynomerzeugung

Jeder Klick auf Neue Aufgabe erzeugt ein neues Polynom (Grad 2–5) mit zufälligen Parametern und ganzzahligen Nullstellen.

Zwei Darstellungsformen

Umschalten zwischen Normalform (ausmultipliziert) und faktorisierter Form für verschiedene Schwierigkeitsstufen.

Übung zum Endverhalten

Wähle aus, wie sich der Graph links und rechts verhält — vier Optionen decken alle Kombinationen ab.

Nullstellen & Vielfachheiten

Gib jede Nullstelle und ihre Vielfachheit ein. Das Tool prüft deine Antworten und sagt dir genau, was falsch ist.

Graph auf Abruf

Der Graph ist standardmäßig ausgeblendet — arbeite zuerst mit der Formel, dann zeige den Graphen zur Überprüfung.

Mitternachtsformel

Optionale Anzeige der Lösungsformel $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ als Hilfestellung bei quadratischen Faktoren.

Lösung anzeigen

Klicke auf Lösung anzeigen, um alle Nullstellen mit roten Punkten im Graphen zu sehen, plus das korrekte Endverhalten.

Brüche & Dezimaleingabe

Antworten können als ganze Zahlen (3), Dezimalzahlen (1.5) oder Brüche (3/2) eingegeben werden.

Punkteverfolgung

Zählt richtige Antworten gegen Gesamtversuche während der Sitzung.

Keine Installation

Reines HTML/CSS/JavaScript — läuft in jedem modernen Browser. Kein Download, kein Setup, keine Abhängigkeiten.

Polynomstruktur

Jedes erzeugte Polynom hat die Form:

f(x) = a · x^k · (bx² + cx + d)^m

Komponente	Beschreibung	Bereich
a	Führungskoeffizient	−3, −2, −1, 1, 2, 3
k	Potenz von x (Nullstelle bei 0 mit Vielfachheit k)	0 bis Grad
bx² + cx + d	Innerer Faktor (quadratisch oder linear, normiert, ganzzahlige Nullstellen)	Nullstellen in [−4, 4]
m	Potenz des inneren Faktors	0, 1, 2 oder 3
Grad	Gesamtgrad: k + Grad(innerer) · m	2 bis 5

Designziel: Der innere Faktor hat immer „schöne“ ganzzahlige Nullstellen, sodass Schüler durch Faktorisieren oder die Mitternachtsformel ohne Taschenrechner lösen können.

Anleitung

1. Formel lesen

Beim Start der App (oder nach Klick auf Neue Aufgabe) wird eine Polynomformel angezeigt. Mit der Checkbox zwischen Normalform (ausmultipliziert) und faktorisierter Form umschalten.

2. Endverhalten bestimmen

Betrachte den Grad und das Vorzeichen des Führungskoeffizienten:

Ungerader Grad, positiver Koeffizient → unten-links nach oben-rechts ↗
Ungerader Grad, negativer Koeffizient → oben-links nach unten-rechts ↘
Gerader Grad, positiver Koeffizient → oben-links nach oben-rechts ↥
Gerader Grad, negativer Koeffizient → unten-links nach unten-rechts ↧

3. Nullstellen finden

Setze jeden Faktor gleich null und löse:

x^k = 0 → Nullstelle bei x = 0 mit Vielfachheit k
bx² + cx + d = 0 → faktorisieren oder Mitternachtsformel anwenden; jede Nullstelle hat Vielfachheit m
Hat die innere quadratische Funktion eine doppelte Nullstelle, verdoppelt sich die Vielfachheit auf 2m

Füge Nullstellen mit dem Button + Nullstelle hinzufügen hinzu und wähle die richtige Vielfachheit.

4. Antwort prüfen

Drücke Enter oder klicke auf Antwort prüfen.
Richtig — grüne Bestätigung, Punktzahl erhöht sich.
Falsch — das Tool zeigt dir, welche Nullstellen falsch oder fehlend sind.

5. Graph anzeigen

Klicke auf Graph anzeigen, um das Polynom zu visualisieren und deine Analyse zu überprüfen. Klicke auf Lösung anzeigen, um die Nullstellen mit roten Punkten im Graphen zu sehen.

Technologie

Vanilla JavaScript HTML5 Canvas CSS3 Keine Abhängigkeiten GitHub Pages

Die gesamte Anwendung ist eine einzige HTML-Datei — kein Build-Schritt, kein Framework, kein Server erforderlich.

Projektstruktur

PolynomialTrainer/
├── app.html         Die Webanwendung (einzelne Datei)
├── index.html       Diese Projektwebseite
├── README.md        Dokumentation
├── LICENSE          MIT-Lizenz
└── .gitignore

Lizenz

MIT-Lizenz — frei nutzbar, veränderbar und verteilbar.

Datenschutz: Diese Anwendung läuft vollständig in deinem Browser. Es werden keine Daten erhoben, übertragen oder auf einem Server gespeichert.

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Kommentare & Feedback

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Features

Random Polynomial Generation

Each click of New Problem produces a fresh polynomial (degree 2–5) with randomised parameters and integer roots.

Two Display Modes

Toggle between standard form (fully expanded) and factored form to practise at different difficulty levels.

End Behaviour Exercise

Select how the graph behaves at the far left and far right — four options cover all combinations of rising and falling ends.

Zeros & Multiplicities

Enter each zero and its multiplicity. The tool checks your answers and tells you exactly what’s wrong.

Graph on Demand

The graph is hidden by default — work from the formula first, then reveal the plot to verify your answer.

Quadratic Formula

Optional display of the quadratic formula $x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ as a hint when the polynomial contains a quadratic factor.

Solution Reveal

Click Show Solution to see all zeros highlighted with red dots on the graph, plus the correct end behaviour.

Fraction & Decimal Input

Answers can be entered as integers (3), decimals (1.5), or fractions (3/2).

Score Tracking

Keeps a running score of correct answers vs. total attempts across the session.

No Installation

Pure HTML/CSS/JavaScript — runs in any modern browser. No download, no setup, no dependencies.

Polynomial Structure

Each generated polynomial has the form:

f(x) = a · x^k · (bx² + cx + d)^m

Component	Description	Range
a	Leading coefficient	−3, −2, −1, 1, 2, 3
k	Power of x (root at 0 with multiplicity k)	0 to degree
bx² + cx + d	Inner factor (quadratic or linear, monic, integer roots)	Roots in [−4, 4]
m	Power of the inner factor	0, 1, 2, or 3
Degree	Total degree: k + deg(inner) · m	2 to 5

Design goal: The inner factor always has “nice” integer roots so students can solve by factoring or the quadratic formula without a calculator.

How to Use

1. Read the Formula

When the app starts (or after clicking New Problem), a polynomial formula is displayed. Toggle between standard (expanded) form and factored form with the checkbox.

2. Determine End Behaviour

Look at the degree and the sign of the leading coefficient:

Odd degree, positive lead → bottom-left to top-right ↗
Odd degree, negative lead → top-left to bottom-right ↘
Even degree, positive lead → top-left to top-right ↥
Even degree, negative lead → bottom-left to bottom-right ↧

3. Find the Zeros

Set each factor equal to zero and solve:

x^k = 0 → root at x = 0 with multiplicity k
bx² + cx + d = 0 → factor or use the quadratic formula; each root has multiplicity m
If the inner quadratic has a repeated root, its multiplicity doubles to 2m

Add zero entries using the + Add zero button and select the correct multiplicity for each.

4. Check Your Answer

Press Enter or click Check Answer to verify.
Correct — green confirmation, score increases.
Incorrect — the tool tells you which zeros are wrong or missing.

5. Reveal the Graph

Click Show Graph to visualise the polynomial and verify your analysis. Click Show Solution to see the zeros highlighted with red dots on the plot.

Tech Stack

Vanilla JavaScript HTML5 Canvas CSS3 No Dependencies GitHub Pages

The entire application is a single HTML file — no build step, no framework, no server required.

Project Structure

PolynomialTrainer/
├── app.html         The web application (single file)
├── index.html       This project website
├── README.md        Documentation
├── LICENSE          MIT License
└── .gitignore

License

MIT License — free to use, modify, and distribute.

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